弦值;(3)平面与平面所成的锐二面角的余弦值.解析:以为原点,分别以射线,,,为轴、轴、轴的非负半轴建立空间直角坐标系,由于,,所以,,,,,,,,则,,,,.(1),∴异面直线和所成的角余弦值为;(2)设平面的法向量,则有则,即令,则,,所以,又设与平面所成的角为,则.(3)由(2)知平面的法向量,又平面,是平面的法向量,令,则.故所成的锐二面角的余弦值为.2、如图所示,四棱锥,为边长为的正三角形,,,垂直于平面于,为的中点,,求:(1)异面直线与所成角的余弦值;(2)平面与平面所成二面角的余弦值.解:(Ⅰ)如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz,因为AD=1,CD=,AC=2,所以AD⊥CD,∠DAC=,∴ADBC.,,,,,,则,,?∴,∴异面直线AB与PC所成角的余弦值为.?(Ⅱ)设平面PAB法向量为=(x1,y1,z1),可得令,则,?又,设平面PCD法向量为,可得令,则=,则.∴平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(四)课堂小结1.用向量来求空间角,都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题的关键在于确定对应线段的向量.2.合理建立空间直角坐标系(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系,在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.[易错防范]1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.2.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.(五)课后作业三维设计——课时跟踪检测(四十八)
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