利用空间向量知识求空间中的二面角

l-β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cosφ|=__________=__________.Р|cosθ|Р利用向量法求二面角的两种方法?(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角,如图①. ?(2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②Р例题讲解:正方体ABEF-DCE′F′中, M,N分别为AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成角的余弦值.Р【解析】方法一:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0).取MN的中点G,连接BG,AG,则?因为△AMN,△BMN为等腰三角形,?所以AG⊥MN,BG⊥MN.所以∠AGB为?二面角的平面角或其补角.?因为????所以Р故所求两平面所成角的余弦值为Р方法二:设平面AMN的法向量n1=(x,y,z).Р令x=1,解得y=1,z=1,Р所以n1=(1,1,1).同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(1,-1,-1).Р所以 cos〈n1,n2〉=Р故所求两平面所成角的余弦值为Р练习:如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.??(1)求证:PA⊥EF.??(2)求二面角D-FG-E的余弦值.Р【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).?(1)证明:由于?=(0,2,-2),?=(1,0,0),?则=1×0+0×2+(-2)×0=0,?所以PA⊥EF.