DC=900,如图建立坐标系D-ECP,设AD=AB=1,则PF=FD=,ED=,∴P(0,0,1),E(,0,0),B(,,0)∴=(,,-1),=(,0,-1),平面PED的一个法向量为=(0,1,0),设平面PAB的法向量为=(x,y,1)由∴=(,0,1)∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB(2)解:由(1)知:平面PAB的法向量为=(,0,1),设平面FAB的法向量为1=(x,y,-1),由(1)知:F(0,0,),=(,,-),=(,0,-),由∴1=(-,0,-1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=|cos<,1>|=例3:在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.解:(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)∴=(-4,4,1),显然=(0,4,0)1B1的一个法向量∴1B1所成的角θ的正弦值sinθ=|cos<,>|=∵θ为锐角,∴1B1所成的角θ为arcsin(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为=(x,y,1),∵=(0,4,0),=(-4,0,4)由⊥,⊥得∴=(1,0,1),∴点P到平面ABD1的距离d=例4:在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面中心,求A1O与B1C的距离。解:如图,建立坐标系D-ACD1,则O(1,1,0),A1(2,2,3),C(0,2,0)∴设A1O与B1C的公共法向量为,则∴∴A1O与B1C的距离为d=例5:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,求A1到面BDFE的距离。
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