数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当Δ=4a2-12b=0时,f′(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x∈(-∞,x0)时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.4.(2018•兰州模拟)已知函数f(x)=1-xax+lnx在(1,+∞)上是增函数,且a>0.(1)求a的取值范围;(2)若b>0,试证明1a+b<lna+bb<ab.[解] (1)f′(x)=-1ax2+1x=ax-1ax2,因为在(1,+∞)上f′(x)≥0,且a>0,所以ax-1≥0,即x≥1a,所以1a≤1,即a≥1.故a的取值范围为[1,+∞).(2)证明:因为b>0,a≥1,所以a+bb>1,又f(x)=1-xax+lnx在(1,+∞)上是增函数,所以fa+bb>f(1),即1-a+bba•a+bb+lna+bb>0,化简得1a+b<lna+bb,lna+bb<ab等价于lna+bb-ab=ln1+ab-ab<0,令g(x)=ln(1+x)-x(x∈(0,+∞)),则g′(x)=11+x-1=-x1+x<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,所以gab=ln1+ab-ab=lna+bb-ab<g(0)=0,即lna+bb<ab.综上,1a+b<lna+bb<ab,得证.
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