Р解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a(1-x)2 e-ax Р(ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x2(1-x)2 e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞) 为增函数;Р(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数; Р(ⅲ)当a>2时, 0<a-2a<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2= Р当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: Рx(-∞, - )Р(- , )Р( ,1)Р(1,+∞)Рf '(x)+-++Рf(x)↗↘↗↗Рf(x)在(-∞, - ), ( ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- , )为减函数。Р(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1Р(ⅱ)当a>2时, 取x0= 12 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1Р(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1-x >1且e-ax≥1,得Рf(x)= 1+x1-xe-ax≥1+x1-x >1 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。Р特别提示:对于求单调区间、极值、最值问题,根据导数的零点把定义区间分开,列出表格,再分析各区间导数的符号,进而确定单调区间、极值最值,清楚直观不易出错。Р【例4】(2006全国Ⅰ) 在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量求:Р(Ⅰ)点M的轨迹方程;
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