也可以表示为D: -1£y£2, y2£x£y+2. 于是Р Р . Р讨论积分次序的选择. Р 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. Р 解设这两个圆柱面的方程分别为Р x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. Р利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. Р第一卦限部分是以D={(x, y)| 0£y£, 0£x£r}为底, 以顶的曲顶柱体. Р于是Р Р . Р 二. 利用极坐标计算二重积分Р 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. Р 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. Р 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: Р Р , Р其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. Р 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), Р则有, . Р于是, Р即. Р若积分区域可表示为j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, Р则. Р 讨论:如何确定积分限?Р . Р . Р 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. Р 解在极坐标系中, 闭区域D可表示为Р 0£r£a , 0£q £2p . Р于是Р . Р 注: 此处积分也常写成. Р 利用计算广义积分: Р 设D1={(x, y)|x2+y2£R2, x³0, y³0}, D2={(x, y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0},S={(x, y)|0£x£R, 0£y£R}. Р显然D1ÌSÌD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式Р . Р因为, Р又应用上面已得的结果有
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