§8.7二重积分Р一、二重积分的概念与性质?二、二重积分的计算?三、积分区域无界的广义二重积分*Р1Р曲顶柱体Р引例1:曲顶柱体的体积Р柱体体积=底面积×Р高Р特点:平顶.Р柱体体积=?Р特点:曲顶.Р曲顶柱体Р2Р“分割,求和,取极限”思想的应用Р求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,如下动画演示.Р播放Р3Р求曲顶柱体体积的具体步骤Р用若干个小平?顶柱体体积之?和近似表示曲?顶柱体的体积,Р先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域,Р曲顶柱体的体积Р4Р平面薄片的质量Р引例2:平面薄片的质量Р将薄片分割成若干小块,Р取典型小块,将其近似?看作均匀薄片,Р所有小块质量之和?近似等于薄片总质量Р5Р二重积分的概念Р定义:设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域1, 2,…,n ,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i) ,作乘积 f(i,i)i (i=1,2,…,n),并作和Р;如果当各小闭区域的直径中的最大值Р趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭Р区域上的二重积分, 记作Р叫做被积函数,Р叫做被积表达式,Р叫做面积元素,Р与Р叫做积分变量,Р叫做积分区域,Р叫做积分和。Р6Р二重积分的性质(6~7)Р性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则Р性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得Р9Р例题与讲解Р例:不做计算,估计Р其中D是椭圆闭区域Р解Р10
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