sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函数;lnx是1/x在(0,+∞)上的原函数;运动方程s=1/2at^2(a>0,a为常数)是速度v=at在某区间上的原函数,等等.? 研究原函数,首先需要解决在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,原函数是否唯一?事实上,并不是每个函数都存在原函数,我们将在下一章中证明下述定理.Р定理若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在I上的原函数F(x)存在.? 由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数.? 设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x),那么,对任意常数C,由[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.? 如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.Р上述表明,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待,则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来,只需求出其中任意一个,由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构,引入不定积分的概念.?定义2 函数f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分,记作∫f(x)dx,其中,记号∫称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.? 由定义2可知不定积分与原函数是整体和个体的关系,f(x)的不定积分∫f(x)dx是f(x)的原函数的全体,是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则f(x)在I上的不定积分为∫f(x)dx=F(x)+C,其中,C为任意实数,称为积分常数.
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