D的边界曲线为准线,且母线平行于z轴?的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),设f(x,y)≥0为D上的连?续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲?顶柱体的体积.Р解也分三步解决这个问题.Р分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:Р其中任意两小块和除边界外无公共点.?其中既表示第i个小块,也表示第i个小块的面积.Р近似、求和记为的直径(即表示中任?意两点间距离的最大值),在中任取一点,?以为高而底为的平顶柱体体积为Р此为小曲顶柱体体积的近似值,故曲顶柱体的近?似值可以取为Р取极限若记,则定义Р为所讨论的曲顶柱体的体积.Р一、引例Р解分三步解决这个问题.Р引例2质量问题.Р已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) ? 随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.Р分割将D用两组曲线任意分割成n个小块:Р其中任意两小块和除边界外无公共?点.与一元函数的情况类似,我们用符号既表?示第i个小块,也表示第i个小块的面.(i=1,2,…,n).Р故所要求的质量m的近似值为Р近似、求和若记为的直径(即表示中任?意两点间距离的最大值),将任意一点? 处的密度近似看作为整个小块的面密?度.得Р取极限记,则定义Р为所求薄板D的质量m.Р二重积分的几何意义:Р(1) 若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为底,以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.Р(2) 若在D上f(x,y)≤0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下? 方,二重积分的值是负的,其绝对值? 为该曲顶柱体的体积.Р(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些? 子区域上为负的,则表示在这些子区域? 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).Р二重积分的存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).
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