高等数学 定积分教案

,,Р,Р.Р②在每个小区间上任取一点,Р,Р.Р③.Р.Р2.变速直线运动的路程: 设速度是时间间隔上的连续函数, 路程记为.Р①把区间分成个小区间:Р?,,…,,Р,Р.Р②在每个小区间上任取一点,Р,Р.Р③.Р.Р3.定积分定义: 设在上有界.Р①把区间分成个小区间:Р?,,…,,Р.Р②在每个小区间上任取一点,Р .Р③. Р如果Р存在,且此极限不依赖于对区间的分法和在上点的取法,则称此极限为在上的定积分,记为Р.Р注意:定积分只与被积函数﹑积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即Р.Р4.(必要条件). 如果在上可积,则在上有界.Р 5.(充分条件):Р①如果在上连续,则在上可积.Р②如果在上有界,且只有有限个间断点,则在上可积.Р6.定积分的几何意义: Р①如果在上连续,且,则Р (是曲边梯形的面积).Р②.如果在上连续,且,则Р (是曲边梯形的面积).Р ③如果在上连续,且的值有正有负,则Р等于轴上方的曲边梯形面积减去轴下方的曲边梯形面积.Р 7.规定:Р ①当时,.Р ②当时,.Р7.定积分的性质: Р①.Р②.Р ③.Р④如果在上,则Р.Р⑤如果在上,则Р.Р如果在上,则Р,Р.Р⑥设,则Р.Р⑦(积分中值定理) 如果在上连续,则在上至少存在一点,使得Р.Р证:由于在上连续,所以存在最大值和最小值,使得Р,Р,Р,Р故在上至少存在一点,使得Р即.Р称为在上的平均值.Р.证: 对任意实数,有Р,Р,Р所以Р,Р即.Р练习1.设在上连续, 且,证明: Р.Р§5.2微积分基本公式Р 1.积分上限的函数(变上限积分): 在上连续,称Р Р为积分上限的函数.Р 2.如果在上连续,则可导,且Р.Р例1.求的导数.Р 解: .Р例2.Р.Р例3.Р.Р 3.Р.Р 例4.Р.Р 例5.Р.Р例6. 设在上连续,且单调增加,证明:Р在内单调增加.Р证: 当时,