高等数学 第五章 定积分及其运用应用

РaРbРy=f 上(x)Рy=f 下(x)РOРyРxРA1РOРyРxРaРbРy=f 上(x)Рy=f 下(x)РA2РOРxРyРcРdРx=f 左( y)Рx=f 右( y)РA3РA1=A2= [f 上(x)-f 下(x)]dx.РOРyРxРaРbР求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的?面积,也可以按如下方法求面积:Р所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差Рy=f 上(x)Рy=f 下(x)Рy=f 下(x)РA= f 上(x)dxР- f 下(x)]dx.Р例1 计算由两条抛物线:y2x、yx 2 所围成的图形的面积.Р解在区间[0, 1]上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记?为A(x),Р于是面积元素为Р得所求的图形面积Р以[0, 1]为积分区间求定积分Р0Р1Р1РxРyРxРx+dxР直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为РA(x)Рy2xРyx 2РDA ( x 2)dx ,Р以( x 2)dx为被积表达式,РdA = ( x 2)dx ,Р例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积.Р解Р0Р2Р4Р6Р8РxР4Р2Р-2Рy 2=2xРy=x-4Р(8, 4)Р(2, -2)Р例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积.Р解Р求两曲线的交点得:(2,2),(8,4).Р将图形向 y 轴投影得区间[2,4].РA(y)为区间[2,4]上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积.Р直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为Р于是面积元素为Р所求的图形面积为РDA (y  4  y2)dy ,РdA = (y  4  y2)dy ,Р0Р2Р4Р6Р8РxР4Р2Р-2Рy 2=2xРy=x-4Р(8, 4)Р(2, -2)