(2)球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.Р结论1:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.Р结论2:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.Р长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.Р途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.Р途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.Р途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.Р途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.Р例8 正三棱锥的高为1,底面边长为,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.Р思路分析:此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积法可得:,得到.Р例9(福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.Р思路分析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,由侧棱长均相等,所以可构造正方体模型.Р点评:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题,这是解决几何体与球切接问题常用的方法.Р例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,是球的直径,且;则此棱锥的体积为( )РA. B. C. D. Р思路分析:的外接圆是球面的一个小圆,由已知可得其半径,从而得到点到面的距离.由为球的直径点到面的距离即可求得棱锥的体积.Р练习:
全文预览
