空间几何体的内切球与外接球问题

,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=43π.Р答案:43πР13.[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )РA. B.16π C.9π D.Р答案:A; [解析] 如图所示,E为AC与BD的交点.因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE=AC=.设球心为O,球的半径为R,则OE=4-R,OA=R.又因为△AOE为直角三角形,所以OA2=OE2+AE2,即R2=(4-R)2+2,解得R=,所以该球的表面积S=4πR2=4π2=.Р14.[2016·湖南八校联考] 如图是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为( )РA.8π B.16π C.32π D.64πР Р Р答案:C; [解析] 该几何体为一个四棱锥,其外接球的球心为底面正方形的中心,所以半径为2,表面积为4π×(2)2=32π.Р15.已知四棱锥S ­ABCD的所有顶点在同一球面上,底面ABCD是正方形且球心O在此平面内,当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16+16,则球O的体积等于( )РA. B. C. D.Р答案:D; [解析] 由题意,当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥.设球O的半径为R,则AC=2R,SO=R,∴AB=R,则有(R)2+4××R·=16+16,解得R=2,∴球O的体积是πR3=π.Р16.[2016·武汉调研] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,则该球的体积等于________.Р答案:4π; [解析] 设该球的球心为O,△ABC所在圆面的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC且OO1=1.在△ABC中,因为AB=AC=2,∠BAC=90°,所以△ABC外接圆的半径r=BC==,所以该球的半径R===,所以该球的体积V=πR3=4π.