10用总长14.8的钢条制作一个长方形容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解设容器底面积边长为米,则另一边长为米,高为,由和知,.设容器的容积为立方米,则有,即,令,有,即,解得,(不合题意,舍去).所以,当4时,三、运用导数的几点注意事项导数在求函数单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率方面,有着广泛的应用,但有些同学在实际应用时常会出错,下面指出导数学习和应用中的一些注意事项.(一)注重对定义的理解例11已知函数,求.分析本题很容易这样做,因为, .这种做法都是错误的,导数定义中在处的增量是,而本题中在处的增量是,然后用导数的定义,求得极限.正确的做法如下:解因为,所以.(二)注意导数存在与极值存在的关系例12判断函数在其定义域内是否存在极值.分析在处给增量,便有,得,可知当时,不存在极限,即函数在处不可导.若因此得出无极值这个答案是错误的.因为在某一点处不可导,不能直接断定没有极值.解在附近有,由极值的含义可得:在处取得极小值.注意在某一点处不可导,不一定没有极值.(三)注意几何意义中的陷阱例13已知曲线,过点作曲线的切线,求切线方程.分析本题常会这样解:由导数的几何意义知,,所以曲线的切线方程为.这是错误的,原因是点根本不在曲线上.解设切点坐标为,则切线的斜率,切线的方程为,将代入,解得,所以切线方程为.注意导数的几何意义是过曲线上该点切线的斜率,应注意此点是否在曲线上.(四)注意单调性的条件例14已知,函数(为常数),在(-1,1)内为增函数,求实数的取值范围.分析课本上给出的有关单调性的结论是:若在上有,则在上为单调递增函数;若在上有,则在上单调递减函数.注意这一条件只是单调的充分条件并不是充要条件.这一充分条件也可扩大为:若在上有且在任一子区间上不恒为零,则在上单调递增(减).解,由题意可得
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