ε1 = (1 , 0 , 0 , ⋯, 0),ε2 = (0 , 1 , 0 , ⋯, 0), ⋯,εn = (0 , 0 , ⋯, 1) 是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α= (a1 , a2 , ⋯, an )都可唯一地表示为:α=a1ε1 + a2ε2 + ⋯+ anεn的形式,这里ai∈F(i = 1 , 2 , ⋯, n).Р 定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.Р下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为α1 , α2 , ⋯, αn , 其中αi = (αi1 ,αi2 , ⋯,αin),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:αi=Σaijεj(i = 1 , 2 , ⋯, n) .解以ε1 , ε2 , ⋯, εn 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: εj=Dj/D= bj1α1 + bj2α2 + ⋯+ bjnαn(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1 ,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法.Р例6 求可逆矩阵的逆矩阵.Р解矩阵A的行向量为,由标准基表示为:Р Р 解以为未知量的方程组得:Р7Р该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:Р 由:Р 得:Р 令Р 是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对施行矩阵的行的初等变换得:Р方法7 用行列式:定理:若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆,且Р为的初始单位向量组,即Р例7:设,求A的逆矩阵.Р8
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