于正的整数,;而且如果时,,那么我们得出是函数的(阶)极点.Р(3) 在(2.3)式中,假如有无穷多个正整数,可以让,那么我们得出是函数的本性奇点.Р我们可以知道,结果和有限点的情况完全相反,当无穷远点变成函数的孤立奇点的时候,它分类的依据是以函数在无穷远点处的邻域的洛朗展开式中的正次幂的系数取得零值的个数来确定的.Р定理7 假如函数在区域内是解析的,那么我们说是函数的可去奇点、极点或者本性奇点的一个既充分又必要的条件是:有限的极限,无穷极限是存在的或者有限的极限或无穷的极限是不存在的.Р2.3 留数的定义及留数定理Р留数在复变函数论之中是一个相当重要的概念,它和解析函数在孤立奇点上的洛朗展开式问题、柯西复合闭路定理问题等有着相当紧密的关系.Р假如函数在点上是解析的,周线全都在点的某一个邻域之内,并且完全包围着点,那么依据柯西积分定理我们得到.但是,假如是函数上的一个孤立奇点,并且周线全在的某一个去心的邻域之内,并且完全包围着点,那么积分的值,通常情况下,不再等于零了.但是我们可以运用罗朗系数公式,这样就它的值就能比较容易的计算出来了.总结一下我们可以得到:Р假设有限点是函数的一个孤立奇点,也就是说在点的某一个去心的邻域内是解析的,那么我们就可以称积分Р为函数在点处的留数(residue),记为.Р由柯西积分定理和罗朗系数公式我们可以知道,函数在有限的可去奇点上的留数是等于零的.因而我们可以得到如下留数定理:Р定理8 (柯西留数定理)函数在周线或者复周线所包围的区域内,除了以外都是解析的,并且在闭域上除了以外都是连续的,那么可以得到(“大范围”的积分)Р?.Р3留数的求法Р为了使用留数定理来求周线积分,我们应该先掌握一些方法来求留数.然而计算孤立奇点上的留数时,我们只需要了解一下洛朗展开式中的这一项的系数,因而一般方法是应用洛朗展开式来求留数.Р定理9 假如为函数的阶极点,
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