式为:如果设第i个方程-(减去)第k个方程则得到:Р对于和,下面的公式是对他们的元素的:Р(3)延续上述计算,且使一直到第s步消元计算结束。得到了:即是这个方程组是与原来的方程组等价的。而对于与原来方程组等价的方程组里面有:对于,他的形状是上梯形的。要想得到与原来的方程组等价的方程组就得只在当m=n的条件下,也就有如下:Р由上式约化的过程称为消元过程。如果它是非奇异的矩阵,同时是成立的。则在求解下式的时候就可以得到求解公式是:Р求解过程称做回代过程。有了上面的对基本的知识的理解和储备,那么我们就可以轻松的理解下面的这些基本定理:Р定理1:设线性方程组A是n阶实矩阵,即:,如果有则运用高斯消去法可以将线性方程组转化成与三角形方程组等价,计算步骤如下:Р消去计算(k=1,2,...,n-1)Р.Рb)回代计算:Р Р 前提:矩阵A它是非奇异的矩阵,同时有:我们可以运用高斯消去的方法(也就是做两行进行交换的初等变换)把原始的方程组化简成诸如上述形式的式子。这样对于下面的定理就可以很轻松的理解:Р定理2:因为对于系数矩阵A,它的各个阶的顺序主子式都是不是0的,所以高斯消去法才可以运算到底。Р高斯消去法能进行到底,就是因为上述定理,这也是充分必要条件。定理2也表明:若阶顺序主子式不等于零则需满足。他们相互之间同时也是充分必要的条件。但是通过这个我们也就可以看出高斯顺序消元法的一些不足之处,最为突出的是在条件时,这时的方程组不一定是没有解的,这时候运用高斯顺序消元法的话,它的首要条件就没有满足,那么它的第一步运算也就不能够进行下去可。这时就可以用到列主元消元法。下面的这种表达也归为是高斯消去法的一种方式,即:Р形如Р = Р的矩阵称为初等下三角矩阵,并且有:Р= Р并且对于主对角线元素,他们全都是 1 ,而剩余的元素就都是0。Р例如当k=1时,有Р=,=,Р=Р其中: =- Р容易看出
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