.5)Р当存在时,显然满足上式,可见减号逆是普通逆矩阵的推广;另外,由得Р即Р可见,当为的一个减号逆时, 就是的一个减号逆。Р 例2.1 设, , ,易知Р, Р 故与均为的减号逆。Р例2.2 若,则,其中是任意的实数。Р证因为对任意的,都有Р 所以。Р 反之,任意的,若满足Р必须有,即X为的形状。Р例2.2表明,标准形的减号逆存在,而且不是唯一的,填一些数到*位置,就是一个减号逆,填不同数,就得到不同减号逆。Р2.3自反广义逆Р 众所周知,对于普通的矩阵,有,但这一事实对于减号逆A一般不成立。例如,由例2.1知Р,Р但Р即,为了使与能互为减号逆,我们不妨对前面定义的减号逆加以限制,使具有这种“自反”的性质。下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。Р定义2.3 对于一个阶实矩阵,使Р 以及Р显然,自反广义逆是减号逆的一个子集,此时,它满足自反性质Р2.4最小范数广义逆Р 定义2.4 设,如果有一个阶矩阵X,满足Р 以及(2.6)Р则称为的一个最小范数广义逆,记为Р 显然,最小范数逆是用条件对减号逆进行限制后所得出的一个子集。Р定理2.1 设,则Р (2.7)Р为的一个最小范数广义逆。Р 因为减号逆不是唯一的,所以最小范数广义逆也不是唯一的,实际上上式也给出了计算的一种方法。Р最小范数广义逆具有下面的性质。Р定理2.2 条件(2.6)与下面关系式等价Р (2.8)Р事实上对上式两端右乘,得Р即Р对上式两端转置,得Р可见有Р代入(2.8)得Р即有Р反之,我们可以由式(2.6)中第一条件的左边的XA,得Р2.5最小二乘广义逆Р 定义2.5 设,若有一个阶矩阵X满足。Р以及Р则称不的一个最小二乘广义逆,记为Р显然,最小二乘广义逆也是减号逆的一个子集。Р 定理2.3 设,则Р (2.9)Р设的一个最小二乘广义逆。Р 证是一个减号逆,故有Р设,则按秩分解,以代入上式,使得Р用左乘上式两端,得
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