较低的矩阵来证明.这两种方法在证明问题时都是很有效的,很大一部分相关矩阵秩的问题,都可以用分块矩阵来证明[5].Р3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用Р分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用,但要达到运用自如却非易事,其基础知识抽象,解题方法技巧性强,稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵,我们往往容易忽略它重要的一点---矩阵分块的作用.下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.Р定理2[2] 矩阵列线性无关的充要重要条件是只有零解.Р推论4 设,则Р(1)的列线性相关(即)的充要条件是存在使;Р(2)的行线性相关(即)的充要条件是存在使.Р证明(1)充分性设的列线性相关,由定理2,存在使,作,则,故.Р必要性设有,,为的列向量,且,使,即,因,由定理2可知,的列线性无关.Р类似可证(2).Р例2 矩阵列线性无关,,求证:列线性无关的充要条件是列线性无关.Р证明充分性要使,即,记,则.因列无关,须,即,又列无关,须,从而列无关.Р必要性要使,两边左乘,则,即,又列无关,即,则列无关.Р矩阵的列(行)向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵,因为矩阵的行(列)都可以看作是矩阵的子块,在处理矩阵的分解问题时也是一样,在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决.Р例3 设,则Р(1),使得;Р(2),使得.Р证明,使Р,Р.Р(1)将与作如下的分块:Р,Р则.Р(2)因,令,Р即得.Р3.3分块矩阵在相似问题中的应用Р众所周知,若为阶矩阵,如果存在一个阶非奇异矩阵存在,使得成立,则称矩阵与相似.但如果的阶较高,在证明的过程中找到一个阶非奇异矩阵变得非常困难,而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的,为相似矩阵的证明提供了一种新的思路[7].Р例4 如果方阵,方阵,则.Р证明因方阵,方阵,
全文预览
