n阶可逆矩阵,k为非零常数,则也是可逆矩阵,且Р;Рm为正整数。Р 3 .矩阵的初等变换与矩阵的秩Р 3.1 矩阵的初等变换Р定义对矩阵的行(列)实行下列三种操作(或变换)之一,称为对矩阵实行了一次初等行(列)变换:Р交换矩阵的两行(列);Р矩阵的某一行(列)的元素乘以一个不等于零的数;Р将矩阵某一行(列)的元素加上另一行(列)对应元素相同的倍数。Р定义满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵,简称为阶梯型矩阵;Р非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素为零的行)的标号;Р设矩阵有r个非零行,第i个非零行的第一个非零元素所在的列号为,则Р定理任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。Р定义一个阶梯型矩阵如果满足:Р每一个非零行的第一个元素都为1;Р每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零,Р则称它为简化的阶梯型矩阵(也称为规范的阶梯型矩阵),Р定义如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵,其他位置的元素都为零,则称这个矩阵为标准型矩阵。Р 3.2 矩阵的秩Р定义在矩阵中任取k行和k列位于这k行和k列的交叉点的个元素,按照它们在矩阵A中的相对位置组成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。Р定义若矩阵中有一个r阶子式不为零,而A中所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称r为矩阵A的秩,记为或规定零矩阵的秩为零。Р命题(1)一个矩阵的秩是唯一的。Р设则的充要条件是A=0.Р若矩阵A中有一个r阶子式不为零,则若矩阵A中所有的r阶子式全为零,则Р在矩阵A中,任选s行t列,位于这s行t列交叉上的元素按它们在A中的相对位置所构成的矩阵称为A的一个子矩阵。若是A的一个子矩阵,则Р阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。Р设如果则称A为行(列)满秩矩阵,简称满秩矩阵。Р定理初等变换不改变矩阵的秩。Р 3.3 初等矩阵的概念与性质Р定义单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵都是初等矩阵。
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