数学与应用数学毕业论文-关于均值不等式的探讨

应用数学问题的处理,对学生学习的能力和素质的培养,都具有极为重要的意义。Р1.2 试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”Р不等式是高中数学的重要内容, 均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据, 在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”, 而且要善于根据均值不等式的结构特征,创设应用均值不等式的条件,利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧, 本文举例说明.Р例1 已知常数a , b都是正数,变量x 满足0 <x < 1. 求的最小值.Р解设m > 0 ,则由1 = x + (1 - x) 及题设知0 < x < 1 ,0 < 1 - x < 1 ,且m = m[ x + (1 - x) ]= mx + m(1 - x) ,Р(1)Р其中当且仅当Р即时取等号.由解得,即Р从而.移项得: ,当且仅当时取等号.Р故所求最小值为.Р例2 已知a > 0 , b > 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.Р解设m > 0 ,则由题设及均值不等式可知: (1)Р(1) 式当且仅当,即时取等号.又,即Р,亦即(2)Р显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是解之得m = 16. 代入(1) 得:Р.Р故当且仅当时, 取到最小值.Р例3 若a,且a + b = 1. 求证: Р证明设m > 0 ,则.由均值不等式得.Р∴(1)其中当且仅当时取等号.Р同理可得: (2)其中当且仅当时取等号.Р显然(1) , (2) 同时取等号的充要条件是.由于a + b = 1 , 故可解得Р将m = 1 代入(1) , (2) ,并将两式相加得Р即.Р例4 已知a > 0 , b > 0 ,且a + b = 1. 求证: .Р证明设m > 0 , 则由题设及均值不等式可得: (1)Р(1) 式当且仅当即时取等号.Р同理可得(2)Р(2) 式当且仅当即时取等号.Р再由题设及均值不等式可得:. ∴(3)