则可由的行向量线性表出.Р,因此.Р(7)行列式运算规律Р 设是数域的两个矩阵,那么,即矩阵乘积的行列式等于等于它的因子行列式的乘积。Р由数学归纳法不难将其推广到多个因子的情形,即有Р设是数域上的矩阵,于是Р另外矩阵乘法的结合律知矩阵乘法的行列式也有此规律,即对数域的三个矩阵矩阵有。Р(8)与其他的乘法不同,矩阵乘法的消去律不成立,即当时不一定有.Р这是因为例如,则有Р,但.Р3.2 矩阵乘法运算与群Р定义3.2.1 设是一个非空集合,“”是上的一个代数运算,即对所有Р,如果的运算还满足Р (G1)结合律,即对所有的,有Р (G2)中有元素,使对每个,有Р (G3)对中每个元素,存在元素,使Р则关于运算“”构成一个群,记作,在不引起混淆的情况下,也称为群,其中称为单位元,称为的逆元,且若都能满足,就称是交换群。Р由群的定义知,阶实矩阵关于矩阵的乘法不构成群,因为不满足条件(G3)。但阶可逆实矩阵关于矩阵的乘法构成群,记为,其中,且也构成群,通常称为特殊线性群,它是的子群。Р3.3 可交换矩阵Р与其他的乘法不同,一般情况下,矩阵乘法的交换律是不成立的,例如Р下面讨论与阶复方阵可交换的方阵所应满足的条件。Р设阶复矩阵,且其中矩阵为阶约当块,下求与可交换的所有可能的复方阵,记,那么相当于.把按的分块相应分块,于是当且仅当(*)Р当时,由,,而为非奇异矩阵得.Р当时,(*)式即为,.Р记,比较上式对应系数即可得Р故(*)式成立当且仅当形如Р或.Р我们把这样的称为下三角分层矩阵,于是得下面定理Р定理3.3.1 设复方阵的约当标准形为,即,其中,那么与可交换的方阵恰为所有可能方阵,其中是与相应分块的方阵,且Р 0 当Р 下三角分层阵当Р可交换矩阵的运用非常广泛,诸如下面两个命题Р命题1:若对实阶矩阵,有,则如果是的特征值,那么是的不变子空间.Р证明:对,有Р 则Р Р 即是的不变子空间
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