可以唯一的分解为.其中是实矩阵,满足,是实非奇异上三角阵,容易看出.Р3利用Householder变换求矩阵的QR分解Р 定义2.1 设且,称为Householder矩阵,由Householder所确定的变换称为Householder变换.Р Householder矩阵有如下性质:Р(1) (对称矩阵)Р(2) (正交矩阵) Р(3) (对合矩阵)Р(4) (自逆矩阵)Р(5)是阶Householder矩阵Р(6)Р 定理2.2 设为非零列向量,为单位列向量,则存在Householder矩阵,使得Р 证明当时,取单位列向量满足,则有Р Р当时,取则有Р Р Р Р .Р这里利用了等式Р 定理2.3 利用Householder变换证明任意都可以进行QR分解.Р 证明将进行列分块,即,由定理知,存在阶Householder矩阵,使得,则Р 式中.Р 再将按列分块,即.同理,有阶Householder矩阵,使得,其中.则有阶Householder矩阵Р,使得Р Р式中:.同理,继续上述步骤,则在第步有Р Р由于皆为Householder矩阵,则有,其中Р为正交矩阵,为上三角矩阵.Р 例2 利用Householder变换求矩阵的分解.Р 解由的第一列,利用Householder变换公式得Р ,Р则Р .Р再对的第一列做Householder变换,得Р ,Р则Р Р ,Р则为上三角矩阵,而.Р4利用Givens变换求矩阵的QR分解Р 定义3.1 设实数与满足,称Р Р为Givens矩阵,有时也记为.由Givens矩阵所确定的变换称为Givens变换,且当时,必有角度,使得,.Р Givens矩阵有如下性质:Р (1)Givens矩阵是正交矩阵,且有Р (2)设,,则有Р Р Р上式表明,时,选取,.Р就可使,.Р 定理3.2 设,则存在有限个Givens矩阵的乘积,记做,使得,其中.
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