毕业论文-矩阵可对角化的判定条件及应用

-3)|=|-3|Р =|-3|=|diag(-1,1,...,2-3)|=-1×1×3×5×...×(2-3).Р例5.1.2 已知3阶矩阵的特征值为1,-1,2,设矩阵=,试求:||及|-5|.Р解:已知3阶矩阵有3个特征值1,-1,2,故存在可逆矩阵使得==diag(1,-1,2).于是Р||=||=||=||=|diag(-4,-6,-12)|=-228,Р|-5|=|-5|=||=|diag(-4,-6,-3)|=72.Р5.2求方阵的高次幂Р求方阵的高次幂(为正整数),一般来说,对其直接求解是比较困难的,但是,如果矩阵可对角化,计算是有简单方法的.Р实际上,若=,其中==diag().Р即有,Р则==()()...()=,Р而=diag().故Р=.Р例5.2.1 设=,求.Р解:由|-|==-(+2)=0,Р得的特征值Р对于特征值,解方程组(-)=0,由Р =,Р即(均为任意常数)Р则对应的特征向量为Р对于特征值,解方程组(+2)=0,Р即Р则对应的特征向量为.Р令,,则Р Р ==.Р5.3利用特征值和特征向量反求矩阵Р已知阶矩阵的特征值和特征向量反求矩阵,若可对角化,则有简单的方法.事实上,当阶矩阵可对角化时,存在由的个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵,使得,其中是的所有特征值组成的对角矩阵,则Р=Р即为所求.Р5.3.1 已知3阶方阵的3个特征值为1,1,2,对应的特征向量为试求矩阵.Р解:取=,Р由|P|=-10知矩阵有3个线性无关的特征向量,所以,则==Р =Р5.4判断矩阵是否相似Р已知级矩阵和,存在可逆矩阵使得,则与相似.Р例5.4.1 设n级方阵的个特征值互异,又设级方阵与有相同的特征值,证明:~.Р证明:因级方阵的个特征值互异,设为,于是存在可逆矩阵使得又也是的特征值,从而有可逆矩阵使得因此,即,令,则可逆且,故~.Р5.5在向量空间中的应用