,∴BE=EF=FC.Р∵D是AC的中点,∴AD=CD.∴DF是△ACE的中位线.Р∴DF∥AE,且DF=AE.∴DF∥PE.Р∴△BEP∽△BFD.∴=.Р∵BF=2BE,∴BD=2BP.∴BP=PD.∴DF=2PE.Р∵DF∥AE,∴∠APQ=∠FDQ,∠PAQ=∠DFQ.Р∴△APQ∽△FDQ.∴=.Р设PE=a,则DF=2a,AP=3a.Р∴PQ:QD=AP:DF=3:2.∴BP:PQ:QD=5:3:2.Р点拨:当题中已知有多条线段的中点时,可将中点与中点连接,构造三角形中位线,得到平行线.口诀是“中点连中点,构造中位线”.Р技巧2:过顶点作平行线构造相似三角形Р例2.如图,在△ABC中,F为底边AB上一点,BF:AF=3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求的值.Р【知识点:平行线分线段成比例定理,相似三角形判定的预备定理;数学思想:数形结合】Р分析:要求,不能与已知条件BF:AF=3:2联系起来,求不出.因此可作平行线,得到成比例线段,把它们联系起来,再求出.Р解:如图,过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.Р∵CG∥AB,∴∠DAF=∠G.Р又∵D为CF的中点,∴CD=DF.Р又∵∠ADF=∠CDG.Р∴△ADF≌△GDC.∴AF=CG.Р∵BF:AF=3:2,∴AB:AF=5:2.Р∵AB∥CG.∴△ABE∽△GCE.Р∴===.Р点拨:过顶点作平行线构造相似三角形,是常用之法.本题也可过顶点B作AE的平行线与CF的延长线相交求;也可过顶点A作CB的平行线与CF的延长线相交求.Р技巧3:过分点作平行线构造相似三角形Р例3.如图,在△ABC中,=4,=,求的值.Р【知识点:平行线分线段成比例定理,相似三角形判定的预备定理;数学思想:数形结合】Р分析:要求,需作平行线,构造相似三角形,利用成比例线段求.Р解:过D点作DN∥AC,交BE于N,如图.
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