排除(A)、(B),当,由题意,此时,又,则,故排除(C),选(D).Р点拨:以上两例都是适当借助极限思想,用运动的观点对问题进行的定性分析,这肯定比定量运算寻找答案要简单的多.Р3.2利用函数图像把握极限位置Р 函数图像式函数性质的一种直观反映,有些问题涉及到时对应的函数值,可以通过图像的变化趋势进行合理推算得到答案.Р例3已知函数,若, ,则a,b各为多少.Р 分析:函数的自变量在无限变化过程中,其函数值无限趋近一个常数而这个无限的趋势就通过一个有限来刻画.反过来,当Y变化时,其自变量就趋近某个常数,以上这些性质都可以在函数图像上反映出来,如图,函数的图像是两条双曲线,渐进线为Р,由图易知a=2,b=-1.Р例4 给出下列图像,其中可能为函数РT图像的是( )Р分析:按常规的解题方法,我们会想到求函数倒数,但接下来仍需不知如何处理,其实,这道题若从极限的角度考虑,问题会很简单.当时,,所以,当时图像时上升的,排除第四个答案,在令不是恒成立的排除第二个答案,故选一和二.Р 点拨:适当的借助函数图像能把抽象的数学性质直观化,具体化.在解答过程中,涉及到考虑对应的函数值,并由此判断函数或函数图像的变化趋势,此时极限对整体认识问题起着重要的作用.Р3.3极限思想在函数中的渗透Р例5 设,定义,Р求.Р分析:函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样,可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. 中学的函数中有提到过无穷大量,无穷小量以及它们之间的运算关系型.即.但是在计算的时候,中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则.其解答过程不免显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法,这使某些问题的解决显得更简便快捷.Р于,故可取,Р于是有Р,Р,Р,Р因此有Р=Р=.Р由于Р,,Р所以.Р 例6 计算下列极限.
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