若则若则若则若,有且只有一个在内,则2.3数列是一种特殊的函数,可运用函数与方程思想求解问题.它可以看作是自变量依次取正整数,图像为一群孤立点的函数.所以在解有关数列的问题时,应注重将其与函数有关的知识结合在一起,注重函数与方程思想方法的运用与渗透.等差数列的函数化分析:等差数列函数中.令A=,B=,则=A+Bn.当A≠0(d≠0)时,是关于n的二次式,即(n,)在二次函数的图像上,因此,当d≠0时,数列图像是抛物线上一群孤立点.等比数列的函数化分析:由于等比数列的通项公式可以整理为,因此等比数列即中各项所表示的点离散的分布在第一象限或第四象限,其中并且这些点都在函数的图像上.例1.(2005年江苏卷第23题)设数列的前n项和为Sn,已知=1,=6,=11,且(5n-8)-(5n+2)=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.(Ⅰ)求A与B的值.(Ⅱ)证明数列为等差数列.(Ⅲ)证明不等式对任何正整数m、n都成立.解析:(Ⅰ)由=1,=6,=11,得=1,=7,=18.把n=1,2分别代入(5n-8)-(5n+2)=,得解得,A=-20,B=-8.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,5n()-8-2=-20n-8,即5n-8-2=-20n-8,①又5(n+1)-8-2=-20(n+1)-8.②②-①得:5(n+1)-5n-8-2=-20,即(5n-3)-(5n+2)=-20.③又(5n+2)-(5n+7)=-20 ④④-③得:(5n+2)()=0,=0∴=5,又=5,因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列.(Ⅲ)不妨设m≤n,则可设左边=f(m,n)=≥=是关于m的一次函数且单调递增.所以f(m,n)≥g(1,n)=显然g(1,1)=而时,f(1,n)≥g(1,n)>=因此,不等式对任何正整数m、n都成立.评析:试题的第一问只要简单的赋值即可得到方程组来解决;试题的第二问也是
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