理的条件.当时,,所以;当时,,所以.故函数在区间内不存在,使.Р 例2.3 证明:若,其中,且存在,有两个相异实根,则存在,使得.Р 证已知,有,有两个相异实根(),所以,且必然是的局部极小值点.由费马引理可得.又存在,故存在且均在上连续.在内使用罗尔定理,存在,使.同理存在Р,,使得.再次使用罗尔定理有,使.Р 例2.4 以记由三点组成的三角形面积,试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.Р 证由拉格朗日中值定理的题设知,在上连续,在内可导.由三点组成的三角形面积为:Р .Р由题设知,函数在上连续,在内可导.又因为,所以由罗尔中值定理,存在,使得,由Р得:Р.Р 3、关于拉格朗日中值定理的应用Р 例3.1 证明:若在可导,且无界,则也无界,反之则不然.Р 证若在有界,则存在,使得.选定某,在(或)上符合拉格朗日中值定理条件,有Р,在之间,于是,,Р,Р即在有界,矛盾.Р 但是从的导函数在无界的条件,不一定有在无界的结论.反例:.明显地,在为无穷大,而在却有界.Р 注已知的某种性态,利用中值定理可以推出的性态,在这里中值定理充当了至关重要的角色,因为它恰是沟通函数与导数的桥梁,证明是在上进行的,之所以如此,是因为可能不存在.在这种情况下,常常设法取内的子区间过渡.Р 例3.2 证明:若在连续,且非线性函数在可导,则存在,使得.Р 证过及的直线方程可写成Р,且由非线性可知,存在,使得,不妨设,则Р,从而,在上应用拉格朗日中值定理,.Р 若,取,有;Р 若,取,有.Р故存在,使得.Р 注该命题的几何解释为:对非直线的曲线段,若其连续且每点有不垂直于轴的切线,那么一定有某点处的切线比连结曲线端点的弦更“陡”.Р 例3.3 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:Р (1),其中;Р (2),其中.Р 证(1),令,则.因为,所以在上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点,使得
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