(2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在时发散,则对满足不等式的任何,幂级数(2)发散.Р在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中,选取适当的值,即可能转化为通过论数列级数的收敛性求和极限.Р例7 计算即计算.Р解Р Р在上两式中令得Р (3)Р (4)Р(3)—(4)得Р所以Р.Р例8 求,收敛域.Р解令Р Р取,即得Р.Р2.5利用傅里叶级数展开式求和式极限Р一般地说,若是以为周期且在上可积的函数,则可按公式Р计算出和,它们称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数,以的傅里叶系数为系数的三角级数称为(关于三角函数系)的傅里叶级数,记作.这里的记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数.Р由公式知道,若得右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数的傅里叶级数,即此时中的“”号换成等号.然而,若从以为周期且在上可积的函数出发,按公式:Р求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数,这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于本身.在函数的傅氏(特别是正、余弦)展开式中在其收敛域内选取适当的值,即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.Р例9 求.Р解将在展开成余弦级数Р因为所给函数在上满足狄氏收敛定理Р因此Р Р令时,则Р所以Р故Р .Р例10 计算.Р解将在展开成余弦级数Р且该余弦级数在满足狄利克莱充分条件,因此:Р Р令,则Р所以Р故Р.Р另外,Р,.Р2.6利用数项级数收敛性求和式极限Р 收敛的充分必要条件是存在.因此可以通过讨论数项级数的收敛性和式的极限.一般地,可以将所给和式扩充为一个级数来讨论,也可以通过讨论某级数的收敛性来求和式的极限. Р例11 计算及Р.Р解首先讨论的收敛性:Р因为为等比数列,且所以收敛Р且其和为Р又Р所以Р.Р2.7利用等价无穷小替换求和式极限Р定理若则当时Р.Р例12 求. Р解因为Р令Р则Р当Р故原式Р.Р例13 求.Р解因为Р令则Р当
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