为Р所以设目标函数为(1)Р限制条件为(2)Р (3)Р由(1)(2)(3)知即求Р在限制条件下的极值Р因为Р Р所以即(4)Р由(1)(2)(3)解得Р由题意知最长距离为,最短距离为.Р1.3.2 在满足条件下的最值Р基本过程(1)在满足条件下的可能极值点。Р(2)求一元函数的最值。Р例1.3.3 求内接于椭球的体积最大的长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面Р.Р解:设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为则长方体的体积为V=8xyz且Р任意固定, Р首先求(1) 满足条件时的极值点Р因为, , , ,Р由得得(3)Р由(2)(3)解得Р则由由Р解得时, 最大,Р此时长方体在第一卦限的顶点坐标为.Р用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法,可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的计算, 同时对工科学生而言也比较容易理解.Р1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值Р1.4.1 问题的提出Р设方程Р (1)Р在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为,又设约束方程组为Р (2)Р其中, 函数在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立.Р现在要求方程(1)给出的目标函数在约束方程组(2)下的条件极值.利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数Р则目标函数具有条件极值的必要条件是:Р (3)Р有解.Р这就是说,若目标函数在点取得条件极值, 则满足方程组(3).Р1.4.2 问题的分析Р若方程组(3)有解,将代入(3)的前个方程的偏导函数中, 并用、表示点处的各偏导数值, 并以为未知数构造线性方程组:Р ( 4)Р显然方程组(4)有非零解,故方程组(4)的系数矩阵的秩, 其中Р由此可知方程组(3)的前个方程的所有解对应的函数矩阵Р也满足. 因此矩阵A的后列元素对应的函数矩阵Р是函数对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由函数
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