求函数极限的方法

Р例 10 求极限.Р 解由于,并有Р,,Р由洛比达法则可得Р,Р由于函数,均满足路比达法则的条件,所以再次利用洛比达法则Р.Р注 1 如果仍是型不定式极限或型不定式极限,只要有可能,我们可再次用洛比达法则,即考察极限是否存在,这时和在的某领域内必须满足洛比达法则的条件.Р注 2 若不存在,并不能说明不存在.Р注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解,首先必须注意它是不是不定式极限,其次是否满足洛比达法则的其他条件.Р下面这个简单的极限虽然是型,但若不顾条件随便使用洛比达法则Р,Р就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.Р2.9 利用泰勒公式求极限Р在此种求极限的方法中,用得较多的是泰勒公式在时的特殊形式,即麦Р克劳林公式.也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式Р.Р例 11 求极限.Р解由于极限式的分母为,我们用麦克劳林公式表示极限的分子,取:Р ,Р ,Р .Р因而求得Р.Р利用此种方法求极限时,必须先求函数的麦克劳林公式,选取恰当的.Р2.10用导数的定义求极限Р常用的导数定义式,设函数在点处可导,则下列式子成立:Р1.,Р2..Р其中是无穷小,可以是,的函数或其他表达式.Р例 12 求极限.Р 分析此题是时型未定式,在没有学习导数概念之前,常用的方法是消去分母中的零因子,针对本题的特征,对分母分子同时进行有理化便可求解.但在学习了导数的定义式之后,我们也可直接运用导数的定义式来求解.Р解令, 则Р Р Р Р2.11 利用定积分求极限Р 有定积分的定义知,若在上可积,则可对用某种特定的方法并取特殊的点,所得积分和的极限就是在上的定积分.因此,遇到求一些和式的极限时,若能将其化为某个可积函数的积分和,就可用定积分求此极限.这是求和式极限的一种方法.Р 例 13 求极限.Р解对所求极限作如下变形:Р.Р不难看出,其中的和式是函数在区间上的一个积分和,所以有