逼定理。它的主要用途是用来证明某给定的极限的存在性。Р数列收敛的充分必要条件是,,当时,恒有Р定义1:任意给,若在之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限。Р定义2:若,则称为无穷小数列。Р定理2.1:数列收敛于的充要条件是:为无穷小数列。Р(4)单调有界定理Р在实数系中,有界的单调数列必有极限。Р证:不放设为有界的递增数列。由确界原理,数列有上确界,记,任意给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.由的递增性,当时有Р另一方面,由于是的一个上界,故对一切,都有,所以当时有Р 这就证得. Р1.5数列极限的性质Р收敛数列有如下性质.Р(1)极限唯一性Р 若数列收敛,则它的极限是唯一的.Р设与,根据数列极限的定义,即Р>0,,,有Р , ,有Р取,同时有Р 与Р于是,有Р Р Р即,从而收敛数列的极限唯一。Р注意:“极限的唯一性”虽然结论简单,但证明过程较难,但它却是极限性质的基础,一个重要的理论问题。Р(2)有界性Р 若数列收敛,则数列有界,即,, Р设,根据数列极限定义,我们自己取,,当>,有,从而,有Р Р取Р于是,有,即数列有界。Р有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分条件。例:数列有界,但它并不收敛。Р(3)保序性Р 若与,且,则,n>,有Р证明:已知与根据数列极限的定义Р,分别Р,,有<,从而<;Р,有<,从而<Р我们取,有Р<<,即Р这就是数列极限的保序性性质。Р(4)保号性Р 若则对任何,存在正整数N,当n>N时Р(5)保不等式性Р 即若与均为收敛数列,若存在正整数则Р1.6 收敛数列的四则运算Р设数列,是两个数列,则数列Р , , 分别称数列与的和,差,积,商数列。Р(1)设,存在,则Р(2) Р(3) Р(4) Р用数列极限四则运算求下列极限。Р例1 求极限Р解:将分式的分子与分母同用除之,再根据课本中的定理4,5,6,有Р=Р例2 求极限Р解:
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