的求解Р(一)二元函数极值的充分必要条件Р定理4(极值必要条件)若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有Р (*)Р反之,函数在点满足(*),则称点为的稳定点。Р注意:此定理意在说明若函数存在偏导数,则其极值点必是稳定点,但稳定点并不都是极值点。Р定理5 (极值充分条件)设二元函数在点的某邻域内有二阶连续偏导数,且点为的稳定点。则Р(i)当是正定矩阵时,函数在点取得极小值;Р(ii)当是负定矩阵时,函数在点取得极大值;Р(iii)当是不定矩阵时,函数在点不取极值。Р其中,是的二阶连续偏导数构成的二阶矩阵,称为在点的黑赛(Hesse)矩阵。Р根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则,定理5可改写成如下比较实用的形式:Р若函数如定理5所设。为的稳定点,则有:Р(i)当时,在点取得极小值;Р(ii)当时,在点取得极大值;Р(iii)当时,在点不取极值;Р(iv)当时,不能肯定在点是否取得极值。Р例4 讨论是否存在极值。Р解由方程组得稳定点为原点(0,0)。Р又,,Р所以原点(0,0)不是的极值点。Р又因处处可微,所以没有极值点。Р(二)多元函数极值求法Р无条件极值的求解Р 方法(1) 利用函数极值定义求极值Р 方法(2)利用函数极值存在的充要条件求极值Р以二元函数为例,求极值的步骤为:Р求出使偏导数都为0的点及偏导数不存在的点;Р将上述使偏导数为0的点依次代入矩阵Р A= Р Р之中,所得的数字矩阵(仍记为A)则有,РA正定 z在该点取极小值РA负定 z在该点取极大值Р | A| <0 非极值РA不定Р | A| =0 要进一步判定Р条件极值的求解Р定义:有约束条件的极值问题称为条件极值问题。Р其一般形式是在条件组Р (1)Р的限制下,求目标函数Р (2)Р的极值。Р求法一:直接将条件代入转化为无条件极值Р由解出代入便化为无条件极值。Р求法二:拉格朗日数乘法求条件极值
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