极限化简,或转化为已知的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程,转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例9:已知试证证明:令则时,于是易知当时第二、三项趋于零,现证第四项极限亦为零。事实上,因(当时),故有界,即,使得。故10.利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限,也是一种常见的方法,在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下,根据极限的唯一性,来解出我们所需要的结果,但往往验证极限的存在形式比较困难的,需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例10(1)设,对,定义。证明且时,(2)若c为任意的正数。置于(1)的递推公式中,给出,假设,则当时,解:(1)对任意的n,,而且,因为推得,因此,序列是单调递增且有界,它的极限存在,设为x,从递推公式中得到解得,即。(2)因为且对任意的,,可以在上作归纳证明,对任意的,。由知,所以序列是单调递增的,因而极限存在,借助递推公式可求的其极限为。11.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量,记作定理:设函数在内有定义,且有1.若则2.若则证明:①②可类似证明,在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11:求的极限解:由而;;故有注:由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,如:由于,故有又由于故有,。另注:在利用等价无穷小代换求极限时,应该注意:只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有,;,而推出的则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。12.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括:如函数在点连续,则
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