、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系,并且给出用空间向量解决立体几何问题的三步骤:①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;②通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及距离和夹角问题;③把向量的运算结果翻译成相应的几何意义.下面用向量法分别解例1、例2。例1:(1)证明:作于点,以所在直线为轴建立坐标系.则,于是.设平面的法向量为,则,,.即取,解得,(),.(2)解:设与所成的角为,,,,与所成角的大小为.(3)解:设点到平面的距离为,为在向量上的投影的绝对值,,,点到平面的距离为.(见[4][5])点析:线面平行的证明、异面直线所成的角,点到直线的距离,既可以用综合方法求解,也可以用向量方法求解,前者较简便,因为应用向量法计算上会花费很大功夫,个人喜欢再求二面角时使用向量法。例2:(1)证明:以为坐标原点,所在直线为轴、轴、轴.设,,,则,.于是=,=.⊥平面,,=0,求得=1,.(2)解:设平面的法向量..=,=,即,令,则,=,=(.平面的法向量,二面角为60°,,,,,,,°,与平面所成的角为.点析:立体几何当中第一问往往是很浅显的,一般用传统方法很容易,但是第二问二面角就不是很容易求出,建议用向量法求解,在一些规则的例如:正方体、高与底面互相垂直等空间图形,用向量法解题就非常容易。以上两个立体的两种解法已经明确给出,在使用两种方法时有优点也有缺点,那么现在来比较一下两种方法的优缺点。三、两种方法的优缺点比较传统法与向量法在运用上有很大差别,与此同时就存在着优点与缺点,下面阐述一下两种方法的优缺点。传统法的优点与缺点传统法是指不使用其他工具,对几何元素及其关系用定理(或公理)演绎推理出有关结论。它的优点是解法简捷、优雅;对逻辑思维能力、作图能力和空间想象力的提高较有成效。对于一些简单易解的题很实用。
全文预览
