换求极限Р 为了将未知的极限简化,或转化为已知的极限来求,可根据极限的特点,引入新的变量,来替换原来的极限过程,转化为新才极限的过程。Р例:若Р 试证明:Р证明:令Р 则当时,于是Р Р从而有:Р8 两边夹法则Р 当极限不易求出时,可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小,使原极限变为新的极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于此极限值。Р 例:求极限的值Р(1) Р (2) Р(1) 解:Р由于几何平均数小于算术平均数,故分母中的因子Р由此可知: Р而Р Р9 L’Hospital法则Р (1)在使用L’Hospital法则之前,必须考虑它是否属于七种不定型之一。Р不定行:“”,“”,“”,“”,“”,“”,“”。否则就不能用它。Р例:1)Р2)Р3)Р解:Р由L’Hospital法则:Р由于Р.Р(2)L’Hospital法则并不是万能的,有时用L’Hospital法则求不出极限,并等于极限不存在。例如,就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件,而不是必要条件。Р(3)L’Hospital法则告诉我们,对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子Р例:求Р解:Р这是型,但我们并不能根据当时,的极限不存在,就错误地得出也不存在的结论----事实上,显然有。Р因此,不存在并不表示本身存在或是不存在,它不仅仅意味着,此时不能使用L’Hospital发展,而应改用其他方法来讨论Р(4)型的L’Hospital法则使用时,只需检验分母趋向无穷大即可,分子趋不趋向没有关系。请看下面的例子。Р例:设在内可微,且,当时,,且(有限数,或),则Р证明:已知,因此保持取,应用Cauchy中值定理,然后令知函数差分比Р(当时). (1)Р剩下的问题在于根据,(时),由差分比推出(当时)。Р事实上可以改写成Р,Р因此Р (2)Р1)若A=有限数,有(2)可得Р (3)
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