′与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小Р∴点G的坐标为(0,)Р例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并是整个公路系统的总长度为最小,则应当如何修建?Р解:如图,将△ABP绕点N逆时针旋转60°,得到△EBM;同样,将△DCQ绕点C顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、DF,则△ABE、△DCF均为等边三角形,连结PM、QN,则△BPM,△CQN均为等边三角形Р所以当点E,M,P,Q,N,F共线时,整个公路系统的总长取到最小值,为线段EF的长,如图,此时点P,Q在EF上,Ð1=Ð2=Ð3=Ð4=30°.Р进阶训练Р1.如图,在DABC中,ÐABC=60°,AB=5,BC=3,P是DABC内一点,求PA+PB+PC的最小值,并确定当PA+PB+PC取得最小值时,ÐAPC的度数.Р答案:PA+PB+PC的最小值为7,此时ÐAPC=120°.Р【提示】如图,将DAPB绕点B逆时针旋转60°,得到DA'BP',连结PP',A'C.过点A'作A'E^BC,交CB的延长线于点E.解RtDA'EC求A'C的长,所得即为PA+PB+PC的最小值.Р2. 如图,四边形ABCD是正方形,DABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连结AM,CM,EN.Р(1)当M在何处时,AM+CM的值最小?Р(2)当M在何处时,AM+BM+CM的值最小?请说明理由;Р(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.Р答案:(1)当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小,最小值为AC的长;Р(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小,最小值为CEР的长.Р(3)正方形的边长为.Р【提示】(3)过点E作EF^BC,交CB的延长线于点F,解RtDEFC即可.
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