可得AD=CD.Р所以四边形ADCF为正方形.Р从而AF= FC=4.Р令BC=m,则AB=4+m,BF=4-m.Р在Rt△AFB中,有16+(4-m)2一(4+m)2Р所以AB=5,BF=3.Р如图2.将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG.Р易证△AGH≌△AEB.Р令DE=n,则CE=4 -n,BE=BG=3+nР在Rt△BCE中,有1+(4-n)2=(3+n)2,解得n=.Р所以BG=.Р从而.Р进阶训练Р 1.如图,等边△ABC的边长为1,D是△ABC外一点且∠BDC=120°,BD=CD,∠MDN =60°,求△AMN的周长.Р Р△AMN的周长是2Р【提示】如图,延长AC至点E,使得CE =BM,连结DE .先证△BMD≌△CED,再证△MDN≌△EDN即可.Р2.如图,在正方形ABCD中,连结BD,E、F是边BC,CD上的点,△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.Р解:BM2+DN2=MN2.Р【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,想到“正方形角含半角”,从而旋转构造辅助线解决问题(如图1),证△AEF≌△AGF,得∠MAN=∠BAD=4,然后,再由“等腰直角三角形含半角”(如图2)即可证得.Р3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AB上,DE⊥BC于点E,且DE=BC,点F在边AC上,连结BF交DE于点G,若∠DBF=45°,DG=,BE=3,求CF的长.Р解:CF=.Р【提示】如图,将DE向左平移至BH,连结HD并延长交AC于点I,则四边形HBCI为正方形.将△BHD绕点B顺时针旋转90°至△BCJ,则点J在AC的延长线上.连结DF,由“正方形角含半角模型”可得DF=DH+CF,∠DFB=∠JFB=∠DGF,所以DF=DG,从而求得CF的长.
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