用共轭复数的几何意义| z |=,||=,从而得到| z |=||来证明三角形中两边之和大于等于第三边即三角不等式。Р 例2证明平行四边形两对角线的平方和等于各边平方和。Р Р Р 证明:如图令向量,,则Р ,Р Р 即原命题等价于Р 由于Р Р 两式相加得Р 即Р 故原命题得证。Р Р例3.设满足条件及,试证是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。Р证明:如图3,由题意知,点在单位圆上,要想证是一个内接于单位圆的正三角形,只需证Р Р则Р Р同理可得:Р综上可得,命题成立。Р反思:由例2、3可以看出,用复数证明几何问题,关键在于建立一个复平面,把几何题中的点、直线用复数表示,把证明几何题的过程,转化为复数计算的过程。Р 2.用复数的三角式和指数式来证明几何问题Р 2.1复数的三角式,指数式Р 2.2两种形式具体的运用Р Р 例4如图,菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,在弧与上分别作圆O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求证: //。Р分析:设内切圆半经为1,建立坐标系,则可引进适当角后,用复数表示各点,从而用复数表示与。Р 证明:设(定值),,,而,则,同理,,则Р Р Р Р Р Р + Р上式虚部=Р Р 同理,Р Р 则Р 故Р 例5:如图5,设是单位圆周上的动点,点与定点和点构成一个等边三角形的顶点,并且成逆时针方向,当点移动时,求点的轨迹。Р Р 分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点与之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。Р 设对应的复数依次为: 那么向量可以用向量绕点逆时针旋转300度到用复数运算来实现这个变Р换就是Р Р 即Р 所以Р 又因Р 故Р 或。Р 例6.证明:三个复数成为等边三角形顶点的充要条件是。Р Р证:是等边三角形的充要条件为:向量绕旋转即得到向量或Р(*)两边平方并化简得:
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