最短(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知:如图,A,B在直线L的侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。A..BP思考:为什么这样就能得到最短距离呢?问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗?探索新知BAl追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.探索新知B··Al(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?追问1 对于问题2,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·追问2 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·B′C探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′C
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