第二章导数与微分第五节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率四、数学建模的实例一、隐函数的导数函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系,这种对应关系的表示形式是多种多样的。例如:从下图中可以看到,对每一个x通过这条曲线都能有唯一的y与之对应,因此我们说这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数y=f(x),称其为由该方程确定的隐函数.则称方程在区间一、隐函数的导数如果在一定条件下,对于某区间I上的任意一个值x,一般地存在,相应的,诸如等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数.把一个隐函数化为显函数,就称隐函数显化.例如:并不是任意一个隐函数都能显化的.我们关心的是,若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数,能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢?解方程即可求得即注意到y是x的函数这一事实,我们可以不必像上边那样去作代换,而直接将方程两边同时对x求导数,有这一步需要特别注意什么问题?你注意到隐函数导数的表示式的特点了吗?求隐函数在某一点处的导数时应特别注意什么?总结一下求隐函数的一阶导数可分哪几步?整理得于是有1.方程左右两边对x求导(注意y是x的函数,因此对y的函数求导时要用复合函数求导法则).2.解方程,求出y’(注意y’表达式中即含有x,也含有y).讨论:要求切线方程,关键要找到什么?下面又应怎么办?解由隐函数的求导法,得于是例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数.下面应怎么办???
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