随机过程与排队论06

丰Р28-6Р泊松过程的定义2Р如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下?列条件:?N(0)=0;?具有平稳独立增量;?P{N(h)=1}=h+o(h);?P{N(h)2}=o(h)?则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐?次)泊松过程。Р2017/7/11Р计算机科学与工程学院顾小丰Р28-7Р等价定理Р定理泊松过程的定义1与定义2是等价的。Р证明 12:条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3)直接得到。? P{N(h)=1}=P{N(h)-N(0)=1}=Р即d)。Р=h[1-h+o(h)]=h+o(h)?即c)。Р2017/7/11Р计算机科学与工程学院顾小丰Р28-8Р证明Р21:条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明:N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。?设pk(t)=P{N(t)=k},利用归纳法证明:Р(1) k=0,p0(t+h)=P{N(t+h)=0}? =P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0}? =P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}Р解得:p0(t)=e-t。Р独立增量过程Р平稳性Р= P{N(t)=0}P{N(h)=0} =p0(t)[1-h+o(h)]Р因为Р2017/7/11Р计算机科学与工程学院顾小丰Р28-9Р证明(续1)Р(2) k1Рpk(t+h)=P{N(t+h)=k}Р=pk(t)[1-h+o(h)]+pk-1(t)[h+o(h)]+o(h),Р2017/7/11Р计算机科学与工程学院顾小丰Р28-10Р证明(续2)Рk=1时,Р解得:p1(t)=te-t,所以k=1时结论成立。Р假设k-1时结论成立,Р解Р得Р结论成立。?由归纳法知,对一切k=0,1,2,…,结论成立。?得证Р再由平稳独立增量性质,对一切0s<t,Р得出3)。■