费马点在数学解题中的应用德化三中陈为烧学习情境法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。人们称这个点为“费马点”。这是一个历史名题。近几年中考数学出现过不少这类问题。??你听说过费马点吗?本节课我们将了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用.?? 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点定义如图,P为△ABC所在平面上的一点,若P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点P哪点时,距离之和最小。如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?找费马点方法若三角形3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对三角形三边的张角相等,均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。费马点证明将△BPC绕点B旋转60°到△BP′C′的位置,连接PP′,则△BPP′为正三角形.∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C≥AC′.当A、P、P′、C′在同一直线上,即∠APB=180°-BPP’=120°∠BPC=∠BPC′=120°时,PA+PB+PC=AC′为最小值证明:证明:2.若三角形有一个角大于120°,则费马点为三角形钝角的顶点。1.若三角形3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角.结论三角形最大角小于1200费马点如何画?距离之和的最小值如何求?
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