数学定义在解题中的应用

数学定义在解题中的应用(江西省新干中学, 331300 )胡勇彪摘要:数学定义在解题中得应用还很多,它是数学理论的基础,是进行判断、推理、论证的重要依据。在解题中充分利用定义,有时会收到事半功倍的效果。关键字:定义的应用数学的定义蕴涵着极其丰富的内涵,深刻理解定义,可抓住问题的实质,从而找到解决问题的有效途径,下面就定义在解题中的应用举例说明。例1、集合A是S的一个子集,当时,若且则称为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的且有4个元素的子集的个数(C)A、4个B、5个C、6个D、7个分析:无“孤立元素”即有相邻数字构成的集合中的对象:,则或所以分两类:①子集中的4个元素都为相邻的数字,共有3个:,②子集中有两组相邻的数字共有3个:例2、设,且已知定义在内的函数是奇函数①、求实数的取值范围②、判断并证明函数的单调性分析:⑴∵在上为奇函数∴即∴∵则∴的定义域为∵∴的取值范围为⑵可看作是由与复合而成∵在其定义域内是增函数,而为减函数,由复合函数的单调规律可知在上是减函数,其证明过程可用单调性定义证明或证明在上恒成立例3、已知动点满足等式则点的轨迹是()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线分析:将原式整理上式表示动点到定点的距离与到定直线的距离比为定值,∴点的轨迹是椭圆例4、求函数的最值分析:此题如果借助与三角变换法求解比较麻烦,观察函数的表达式类比发现它与两点的斜率公式非常相似,因此就将代数问题转化为几何问题求解。动点与定点A两点连线的斜率,而动点的轨迹是单位圆,的最值就是直线PA与单位圆相切时的斜率直线PA:单位圆直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于半径∴两边平方得∴数学定义在解题中得应用还很多,它是数学理论的基础,是进行判断、推理、论证的重要依据。在解题中充分利用定义,有时会收到事半功倍的效果。江西新干中学胡勇彪 13907065412huybia_1978@