“补集思想”在解题中的应用在集合运算中,大家都知道这样一个性质:,可是你知道它到底有何作用呢?本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。例1、已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,求实数a的取值范围。分析:本题若直接去解,情形较复杂,也不容易求得正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,同样也可以求解。解:易解得A={y|y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=φ时a的范围。如图由,得∴或.即A∩B=φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为.评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”。例2、若下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围。分析:本题的正面有七种情形需要考虑,而其反面只有一种,即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径。解:若三个方程均无实根,则有。设A=于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为例3、若x、y、z均为实数,且,求证:a、b、c中至少有一个大于0.分析:本题直接证明不仅情形较多,而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立,则就能肯定其正面成立。证明:假设a、b、c均小于等于0,则a+b+c≤0,又a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立∴假设错误,故原命题成立,即a、b、c中至少有一个大于0.
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