,简化了求解过程,为求解提供便利.Р例9 在复数集中解方程:Р解可移项为:······⑴Р因为,所以为纯虚数或者实数.Рⅰ、如果为纯虚数,那么可知对于⑴中两边取模即可得,那么可出现以下两种情况:Р 当时,Р 那么原方程的解为Р 当时,Р 那么原方程的解为Рⅱ如果为实数,那么(舍去负值)Р 则Р注:解题重点即为找到关键点,这道题的关键就是这一性质,用分类讨论的方式将复数方程转化为实数方程的思想求解,避免了复杂的计算过程,但是要注意且为纯虚数是应该有正、负两个满足的条件.Р例10 求解方程:,Р解可变形为,两边取模得,即可得出Р或者,进而可以得到其解为,经验证这两个解均为原方程的解.Р注:本道题的关键点是将复数方程转化成为实数方程,利用了的性质,从而避免了设使得解题变复杂,降低了解题的难度.Р3 利用复数模证明数学问题:Р3.1 证明恒等式Р例11 证明恒等式:Р证明令,,,有Р那么得证Р注:在恒等式的证明时,运用平常的解题思维,很难想到运用复数模解题思想,但有一些证明题往往苦思冥想不得其解,有时转换一下思路就会豁然开朗.Р3.2证明不等式Р例12 证明不等式:Р Р证明令,有Р Р故Р注:在遇到不等式证明问题时,若能仔细认真分析,根据复数模的性质,发现并探索其内在联系,就能将所要证明的不等式进行一定的转化,从而简化证明,找到证明的捷径,所以,在遇到此类问题时,一定要善于联想,不要把解题思想固定在一个模式,具备一定的发散思维对于解题是很有帮助的.Р3.3 证明三角形形状Р例13 在复平面上,且满足条件在复平面上的对应点为A、B两点,O为坐标原点.Р证明:为等腰直角三角形Р证明Р两边取模后可得Р故,故为等腰直角三角形Р3.4 用复数模证明平面几何问题Р例14 平面里有并列排放的三个相等的小正方形,如图所示.Р证明:Р证明根据题意可以建立一个复平面,令小正方形的边长为1,如图所示.
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