第五章二次型Р§5.1 二次型的矩阵表示Р§5.2 标准形Р§5.3 唯一性Р§5.4 正定二次型Р章小结与习题Р9/6/2018Р数学与计算科学学院Р一、二次型的标准形Р二、合同的变换法Р三、小结Р§5.2 标准形Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型Р它的矩阵是对角阵Р平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换?Р任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成Р?Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р证明:Р对二次型变量个数n作归纳法.Р假定对n-1元二次型结论成立.Р一、二次型的标准形Р过非退化线性替换化成平方和的形式.Р1、(定理1)数域P上任一二次型都可经Рn=1时,Р结论成立.Р下面考虑n元二次型Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р这里,Р是一个.Р的n-1元二次型.Р配方法Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р它是非退化的,Р且使Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р使它变成平方和Р于是,非退化线性替换Р由归纳假设,对有非退化线性替换Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р就使变成Р2)Р但至少有一个Р不妨设Р作非退化线性替换:Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院Р不为零.Р由情形1)知,结论成立.Р则Р这是一个的二次型,且的系数Р9/6/2018§5.2 标准形Р数学与计算科学学院
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