向量组是线性无关的.§3相似矩阵1、定义:设A和B都是n阶方阵,若存在n阶可逆阵P,使成立,则称B是A的相似矩阵.(1)相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。(2)A与B相似ÞA与B等价,反之不对。(相似与等价的关系)2、相似矩阵的简单性质:定理若n阶方阵A和B相似,则教学内容批注(1)R(A)=R(B);(2)A与B有相同的特征多项式和特征值;(3),|A|=|B|.3、矩阵可相似对角化条件设与对角阵相似,存在一个阶可逆阵,使设反之设是的特征值。对应的特征向量为:设则有:教学内容批注由此可得什么结论?与相似可逆线性无关。定理1:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。推论:若A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似;但反之不对。思考:矩阵能否与对角阵相似,取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。若矩阵A的特征值互异,则矩阵能与对角阵相似,问题已经解决;若矩阵A有重特征值,则不能马上断言。这时要看特征向量了。实际上,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。设为重特征值,只要则就有个线性无关的特征向量。综上,有:定理:设的相异特征根为,其重数分别为:则,与相似二、矩阵相似对角化的方法:例:判断能否与对角阵相似,并在相似时求可逆阵,教学内容批注使为对角阵。[]三、矩阵相似对角化的步骤求出的所有特征值若互异,则与对角阵相似;若中互异的为每个的重数为,当时,一定与对角阵相似;否则不与对角阵相似。当与对角阵相似时,求出的个线性无关的特征向量则有;§4对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质:性质1:实对称矩阵的特征值都是实数。性质2:实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。(对一般矩阵,只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。)例:设1,1,-1是三阶实对阵方阵有三个特征值,是的属于特征值1的特征向量,求得属于特征值-1的特征向量。
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