。Р证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为Р ，Р其中Р ，Р ，Р其中。即Р ，Р令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。Р另一方面，由于是n维列向量，不妨记为РР ，Р且令Р ，Р则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。Р再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。Р2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。Р15.设是欧氏空间中一单位向量，定义，Р证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；Р2) 是第二类的；Р3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。Р证:1),有:Р ，Р所以是线性变换。Р又因为 Р ，Р注意到，故,此即是正交变换。Р2)由于是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基,则Р，РР即 ，Р所以是第二类的。Р3) 的特征值有个，由已知有个特征值为1，另一个不妨设为，则存在一组基使，Р因为是正交变换，所以，Р但，所以，于是Р现令，则是单位向量，且与正交，则为欧氏空间 的 一组基。又因为Р ，Р，Р，Р所以 ，即证。Р16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。Р证:设是属于特征值的特征向量，即，则Р，Р于是 ，Р令，可得，即证。Р17.求正交矩阵使成对角形，其中为Р1) 2) 3)
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