()+,РA=()+()+,Р故A基下的矩阵为。Р10. 设A是线性空间V上的线性变换,如果A0,但A=0,求证:Р,A, A(>0)线性无关。Р证设有线性关系,Р用A作用于上式,得Р A=0(因A对一切n均成立),Р又因为A0,所以,于是有Р,Р再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,继续作用下去,便可得Р ,Р即证,A, A(>0)线性无关。Р11.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得A,求证A在某组下的矩阵是。Р证由上题知, ,A,A, A线性无关,故,A,A, A为线性空间V的一组基。又因为A A+ A,РA(A)=+ A+ A+ A,Р……………………………РA(A)=+ A+ A + A ,Р故A在这组基下的矩阵为Р 。Р12. 设V是数域P上的维线性空间,证明:与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。Р 证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。Р13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。Р证?设A在基下的矩阵为A=(),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵,且Р ()=()X,Р则也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是,从而有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换。Р若取Р,Р则由A=A知=0(ij),即得РA=,Р再取Р=Р由A=A,可得Р 。Р故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。Р14.设,是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为Р,Р求A在基,下的矩阵;Р求A的核与值域;Р在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;Р在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。Р解 1)由题设,知
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